等差数列求和公式推导及其应用实例分析
发布时间：2025-03-08 15:36:15来源：
等差数列是数学中常见的一种数列，其中每一项与前一项的差是一个常数。对于等差数列求和的问题，我们可以通过一种巧妙的方法来推导出其求和公式。假设有一个等差数列 \(a_1, a_2, \ldots, a_n\)，其中首项为 \(a_1\)，公差为 \(d\)，项数为 \(n\)。我们要求这个数列的前 \(n\) 项之和 \(S_n\)。
首先，我们可以将数列正序和逆序写出来：
\[ S_n = a_1 + (a_1 + d) + \cdots + [a_1 + (n-1)d] \]
\[ S_n = [a_1 + (n-1)d] + \cdots + (a_1 + d) + a_1 \]
接下来，将这两个表达式相加，每对对应项相加得到 \(2a_1 + (n-1)d\)。由于共有 \(n\) 对这样的项，因此有：
\[ 2S_n = n[2a_1 + (n-1)d] \]
从而可以得出等差数列求和公式：
\[ S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d] \]
这个公式简洁明了，能够快速计算出任意等差数列的前 \(n\) 项和。通过进一步的应用实例分析，我们可以更好地理解该公式的实用性和广泛适用性。
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