在数学领域中，定积分是高等数学中的一个核心概念，它被广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。为了帮助大家更好地理解和应用定积分的相关知识，本文将整理一份详细的定积分公式表，供学习者参考。

基本定积分公式

1. 常数函数的定积分

若 \( f(x) = c \)，则有：

\[

\int_a^b c \, dx = c(b-a)

\]

2. 幂函数的定积分

对于 \( f(x) = x^n \)（\( n \neq -1 \)），有：

\[

\int_a^b x^n \, dx = \frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{n+1}

\]

3. 指数函数的定积分

对于 \( f(x) = e^x \)，有：

\[

\int_a^b e^x \, dx = e^b - e^a

\]

4. 对数函数的定积分

对于 \( f(x) = \ln(x) \)，有：

\[

\int_a^b \ln(x) \, dx = b\ln(b) - a\ln(a) - (b-a)

\]

5. 三角函数的定积分

- 正弦函数：

\[

\int_a^b \sin(x) \, dx = -\cos(b) + \cos(a)

\]

- 余弦函数：

\[

\int_a^b \cos(x) \, dx = \sin(b) - \sin(a)

\]

高级定积分公式

6. 分部积分法

若 \( u = u(x) \) 和 \( v = v(x) \)，则：

\[

\int_a^b u \, dv = \left[ uv \right]_a^b - \int_a^b v \, du

\]

7. 换元积分法

若令 \( x = g(t) \)，则：

\[

\int_a^b f(x) \, dx = \int_{g^{-1}(a)}^{g^{-1}(b)} f(g(t)) g'(t) \, dt

\]

8. 奇偶性定理

- 若 \( f(x) \) 是偶函数，则：

\[

\int_{-a}^a f(x) \, dx = 2 \int_0^a f(x) \, dx

\]

- 若 \( f(x) \) 是奇函数，则：

\[

\int_{-a}^a f(x) \, dx = 0

\]

9. 周期函数的定积分

若 \( f(x) \) 是周期为 \( T \) 的函数，则在一个周期内积分值相同：

\[

\int_a^{a+T} f(x) \, dx = \int_0^T f(x) \, dx

\]

应用示例

通过上述公式，我们可以解决许多实际问题。例如，计算曲线围成的面积、物体的质心位置等。以计算抛物线 \( y = x^2 \) 在区间 [0, 1] 上与 x 轴之间的面积为例：

\[

\text{面积} = \int_0^1 x^2 \, dx = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}

\]

总结

定积分公式是解决各种数学和物理问题的重要工具。掌握这些基本公式及其高级应用方法，能够帮助我们更高效地解决问题。希望这份定积分公式表能成为你的学习助手，助你在数学之路上更加得心应手！