在中考的众多科目中，数学始终是一个备受关注的重点科目。尤其是那些被称为“压轴题”的题目，往往成为拉开分数差距的关键所在。这些题目不仅考察学生的综合能力，还要求学生具备较强的逻辑思维能力和解题技巧。本文将为大家详细解析一道典型的中考数学压轴题，并提供详细的解答步骤。
题目描述：
某市中考数学试卷的最后一道大题如下：
已知函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a, b, c$ 为常数，且满足以下条件：
1. 函数图像经过点 $(1, 0)$；
2. 函数图像与直线 $y = 2x - 3$ 相切于点 $(2, 1)$。
求函数 $f(x)$ 的表达式，并计算 $f(3)$ 的值。
解题思路：
第一步：利用已知条件建立方程组
根据题目中的条件，我们可以列出以下两个方程：
1. 函数图像经过点 $(1, 0)$，代入函数表达式可得：
$$
f(1) = a(1)^2 + b(1) + c = 0 \quad \Rightarrow \quad a + b + c = 0 \tag{1}
$$
2. 函数图像与直线 $y = 2x - 3$ 相切于点 $(2, 1)$，这意味着两点条件必须同时满足：
- 点 $(2, 1)$ 在函数图像上，代入可得：
$$
f(2) = a(2)^2 + b(2) + c = 1 \quad \Rightarrow \quad 4a + 2b + c = 1 \tag{2}
$$
- 函数图像在点 $(2, 1)$ 处的导数等于直线的斜率（即 $2$），导数为：
$$
f'(x) = 2ax + b
$$
将 $x = 2$ 代入导数表达式并令其等于 $2$，得到：
$$
2a(2) + b = 2 \quad \Rightarrow \quad 4a + b = 2 \tag{3}
$$
因此，我们得到了一个包含三个未知数 $a, b, c$ 的三元一次方程组：
$$
\begin{cases}
a + b + c = 0 \\
4a + 2b + c = 1 \\
4a + b = 2
\end{cases}
$$
第二步：解方程组
从方程 (3) 中解出 $b$：
$$
b = 2 - 4a \tag{4}
$$
将 (4) 代入方程 (1) 和 (2)，消去 $b$：
1. 将 (4) 代入 (1)：
$$
a + (2 - 4a) + c = 0 \quad \Rightarrow \quad -3a + 2 + c = 0 \quad \Rightarrow \quad c = 3a - 2 \tag{5}
$$
2. 将 (4) 和 (5) 代入 (2)：
$$
4a + 2(2 - 4a) + (3a - 2) = 1
$$
展开并整理：
$$
4a + 4 - 8a + 3a - 2 = 1 \quad \Rightarrow \quad -a + 2 = 1 \quad \Rightarrow \quad a = 1
$$
将 $a = 1$ 代入 (4) 和 (5)：
$$
b = 2 - 4(1) = -2, \quad c = 3(1) - 2 = 1
$$
因此，函数 $f(x)$ 的表达式为：
$$
f(x) = x^2 - 2x + 1
$$
第三步：计算 $f(3)$
将 $x = 3$ 代入 $f(x)$：
$$
f(3) = (3)^2 - 2(3) + 1 = 9 - 6 + 1 = 4
$$
最终答案：
函数 $f(x)$ 的表达式为：
$$
f(x) = x^2 - 2x + 1
$$
$f(3)$ 的值为：
$$
\boxed{4}
$$
通过以上详细的分析和解答，我们可以看到，解决压轴题的关键在于充分利用题目提供的条件，合理建立方程组并逐步求解。希望这道题目的解析能够帮助同学们更好地应对类似的难题！
