线性代数作为数学的一个重要分支，在理论和应用领域都具有广泛的影响。它不仅在物理学、工程学、计算机科学等领域有着重要的应用，也是许多学科的基础工具。因此，掌握线性代数的基本概念和方法是非常必要的。为了帮助大家更好地复习和巩固所学知识，本文整理了一份线性代数期末试题及其参考答案。
一、选择题
1. 设向量组 \(A = \{a_1, a_2, a_3\}\) 线性无关，则以下说法正确的是：
A. 向量组 \(A\) 的秩为 3
B. 向量组 \(A\) 中任意两个向量都线性相关
C. 向量组 \(A\) 可以被扩展为一个更大的线性无关组
D. 向量组 \(A\) 中的每个向量都可以表示为其他向量的线性组合
答案：A
2. 若矩阵 \(A\) 是一个 \(n \times n\) 的方阵，并且 \(|A| \neq 0\)，则下列哪个结论是正确的？
A. 矩阵 \(A\) 不可逆
B. 矩阵 \(A\) 的行向量组线性相关
C. 矩阵 \(A\) 的列向量组线性无关
D. 矩阵 \(A\) 的秩小于 \(n\)
答案：C
二、填空题
1. 若矩阵 \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)，则 \(A\) 的行列式 \(|A| =\) ________.
答案：-2
2. 若向量 \(v = (1, 2, 3)\)，则向量 \(v\) 的模长 \(||v|| =\) ________.
答案：\(\sqrt{14}\)
三、解答题
1. 已知矩阵 \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)，求其逆矩阵 \(A^{-1}\).
解：
首先计算矩阵 \(A\) 的行列式：
\[
|A| = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = -2
\]
因为 \(|A| \neq 0\)，所以矩阵 \(A\) 可逆。根据公式：
\[
A^{-1} = \frac{1}{|A|} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}
\]
其中 \(a=1, b=2, c=3, d=4\)。代入得：
\[
A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{bmatrix}
\]
2. 已知向量组 \(A = \{(1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9)\}\)，判断该向量组是否线性相关。
解：
构造矩阵 \(B = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}\)。计算矩阵 \(B\) 的行列式：
\[
|B| = 1 \cdot (5 \cdot 9 - 6 \cdot 8) - 4 \cdot (2 \cdot 9 - 3 \cdot 8) + 7 \cdot (2 \cdot 6 - 3 \cdot 5)
\]
\[
|B| = 1 \cdot (-3) - 4 \cdot (-6) + 7 \cdot (-3) = -3 + 24 - 21 = 0
\]
因为 \(|B| = 0\)，所以向量组 \(A\) 线性相关。
以上就是本次整理的线性代数期末试题及答案。希望这些题目能够帮助你更好地理解和掌握线性代数的核心知识点。祝大家考试顺利！
