在数学的学习过程中，分式是一个重要的知识点，而分式的约分与通分则是分式运算的基础。为了帮助大家更好地掌握这一部分的内容，下面将通过一系列练习题来巩固相关知识，并附上详细的解答过程。
一、分式的约分
分式的约分是指将一个分式化为最简形式的过程，即将分子和分母中的公因式约去。以下是几道关于分式约分的练习题：
练习题1：
$$
\frac{6x^2y}{9xy^3}
$$
解答：
分子和分母都有 $3$ 和 $xy$ 的公因式，因此可以约掉：
$$
\frac{6x^2y}{9xy^3} = \frac{2x}{3y^2}
$$
练习题2：
$$
\frac{x^2 - 4}{x^2 - 5x + 6}
$$
解答：
分子可以分解为 $(x-2)(x+2)$，分母可以分解为 $(x-2)(x-3)$。因此：
$$
\frac{x^2 - 4}{x^2 - 5x + 6} = \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-3)} = \frac{x+2}{x-3}, \quad x \neq 2
$$
二、分式的通分
分式的通分是指将两个或多个分式化为具有相同分母的形式。以下是几道关于分式通分的练习题：
练习题1：
$$
\frac{1}{x} + \frac{1}{y}
$$
解答：
通分后的分母为 $xy$，因此：
$$
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y}{xy} + \frac{x}{xy} = \frac{x+y}{xy}
$$
练习题2：
$$
\frac{2}{x+1} - \frac{1}{x-1}
$$
解答：
通分后的分母为 $(x+1)(x-1)$，因此：
$$
\frac{2}{x+1} - \frac{1}{x-1} = \frac{2(x-1)}{(x+1)(x-1)} - \frac{1(x+1)}{(x+1)(x-1)}
$$
$$
= \frac{2x - 2 - x - 1}{(x+1)(x-1)} = \frac{x-3}{(x+1)(x-1)}, \quad x \neq \pm 1
$$
总结
通过以上练习题的解答，我们可以看到，分式的约分和通分是解决分式问题的重要工具。希望这些练习题能够帮助大家更好地理解和掌握这部分内容。在实际应用中，灵活运用这些技巧可以大大简化计算过程，提高解题效率。
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