在高中数学的学习过程中，三角函数是一个非常重要的内容，它不仅与几何知识紧密相连，还在物理、工程等众多领域有着广泛的应用。掌握好三角函数的相关公式，对于提高解题效率和理解数学本质具有重要意义。本文将系统整理高中阶段常见的三角函数公式，帮助同学们更好地理解和应用。
一、基本概念
三角函数是研究直角三角形边角关系的函数，常见的有正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）以及它们的倒数函数：余切（cot）、正割（sec）、余割（sec）。在单位圆中，这些函数可以推广到任意角度。
二、基本公式
1. 定义式
设θ为一个角，其终边与单位圆交于点P(x, y)，则：
- sinθ = y
- cosθ = x
- tanθ = y/x （x ≠ 0）
- cotθ = x/y （y ≠ 0）
- secθ = 1/cosθ （cosθ ≠ 0）
- cscθ = 1/sinθ （sinθ ≠ 0）
2. 同角三角函数的基本关系
- sin²θ + cos²θ = 1
- tanθ = sinθ / cosθ
- 1 + tan²θ = sec²θ
- 1 + cot²θ = csc²θ
三、诱导公式
诱导公式用于将任意角转化为锐角的三角函数值，常见如下：
| 角度 | sinθ | cosθ | tanθ |
|------|------|------|------|
| -θ | -sinθ | cosθ | -tanθ |
| π - θ | sinθ | -cosθ | -tanθ |
| π + θ | -sinθ | -cosθ | tanθ |
| 2π - θ | -sinθ | cosθ | -tanθ |
四、和差角公式
- sin(A ± B) = sinA cosB ± cosA sinB
- cos(A ± B) = cosA cosB ∓ sinA sinB
- tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA tanB)
五、倍角公式
- sin2θ = 2sinθ cosθ
- cos2θ = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ
- tan2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ)
六、半角公式
- sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2]
- cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2]
- tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)] = sinθ / (1 + cosθ) = (1 - cosθ) / sinθ
七、积化和差公式
- sinA cosB = [sin(A+B) + sin(A-B)] / 2
- cosA cosB = [cos(A+B) + cos(A-B)] / 2
- sinA sinB = [cos(A-B) - cos(A+B)] / 2
八、和差化积公式
- sinA + sinB = 2sin[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]
- sinA - sinB = 2cos[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]
- cosA + cosB = 2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]
- cosA - cosB = -2sin[(A+B)/2]sin[(A-B)/2]
九、反三角函数简介
反三角函数是三角函数的反函数，主要用于求解角度。常见的有：
- arcsin(x)：定义域 [-1, 1]，值域 [-π/2, π/2]
- arccos(x)：定义域 [-1, 1]，值域 [0, π]
- arctan(x)：定义域 R，值域 (-π/2, π/2)
十、常用角度的三角函数值表
| 角度（弧度） | 0 | π/6| π/4| π/3| π/2|
|--------------|-------|--------|--------|--------|--------|
| sinθ | 0 | 1/2| √2/2 | √3/2 | 1|
| cosθ | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2| 0|
| tanθ | 0 | 1/√3 | 1| √3 | 不存在 |
总结
三角函数公式繁多，但只要掌握其基本规律和推导方法，就能在解题中灵活运用。建议同学们在学习过程中注重公式的记忆与理解，结合图形和实际问题进行练习，逐步提升对三角函数的整体把握能力。
通过不断积累和巩固，相信每位同学都能在三角函数的学习中取得优异的成绩。
