在概率论与数理统计中，二项分布是一种非常常见的离散型概率分布，广泛应用于各种实际问题中，如抛硬币、产品质量检测、医学试验等。本专题将重点讲解如何利用二项分布的概率公式来构造其对应的分布列，并通过具体例题帮助学生理解其应用方法。
一、二项分布的基本概念
二项分布是描述在 n 次独立重复试验 中，成功次数 X 的概率分布。每次试验只有两种可能的结果：成功或失败。设每次试验成功的概率为 p，失败的概率为 1 - p。
若随机变量 X 表示 n 次独立试验中成功的次数，则称 X 服从参数为 n 和 p 的二项分布，记作：
$$
X \sim B(n, p)
$$
二、二项分布的概率质量函数
二项分布的概率质量函数（PMF）为：
$$
P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}, \quad k = 0, 1, 2, ..., n
$$
其中：
- $ C_n^k $ 是组合数，表示从 n 次试验中选出 k 次成功的组合方式；
- $ p^k $ 表示 k 次成功的概率；
- $ (1 - p)^{n - k} $ 表示其余 n - k 次失败的概率。
三、二项分布的分布列
二项分布的分布列即为所有可能取值 k 对应的概率值列表，通常以表格形式呈现。例如，当 n = 3，p = 0.5 时，我们可以列出如下分布列：
| k | P(X = k)|
|---|------------------|
| 0 | $ C_3^0 \cdot 0.5^0 \cdot 0.5^3 = 0.125 $ |
| 1 | $ C_3^1 \cdot 0.5^1 \cdot 0.5^2 = 0.375 $ |
| 2 | $ C_3^2 \cdot 0.5^2 \cdot 0.5^1 = 0.375 $ |
| 3 | $ C_3^3 \cdot 0.5^3 \cdot 0.5^0 = 0.125 $ |
可以看到，各个概率之和为 1，符合概率分布的基本性质。
四、使用二项分布公式求分布列的步骤
1. 确定参数 n 和 p：根据题目要求或实际情境，明确试验次数 n 和每次成功的概率 p。
2. 列出所有可能的 k 值：k 的取值范围是从 0 到 n。
3. 计算每个 k 对应的概率：利用二项分布公式逐个计算。
4. 整理成分布列形式：将结果按顺序排列，形成清晰的表格或列表。
五、典型例题解析
例题：某射手每次射击命中目标的概率为 0.8，进行 5 次独立射击，求其命中次数的分布列。
解：
- n = 5，p = 0.8
- 计算 P(X = k)，k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
$$
\begin{align}
P(X = 0) &= C_5^0 \cdot 0.8^0 \cdot 0.2^5 = 1 \cdot 1 \cdot 0.00032 = 0.00032 \\
P(X = 1) &= C_5^1 \cdot 0.8^1 \cdot 0.2^4 = 5 \cdot 0.8 \cdot 0.0016 = 0.0064 \\
P(X = 2) &= C_5^2 \cdot 0.8^2 \cdot 0.2^3 = 10 \cdot 0.64 \cdot 0.008 = 0.0512 \\
P(X = 3) &= C_5^3 \cdot 0.8^3 \cdot 0.2^2 = 10 \cdot 0.512 \cdot 0.04 = 0.2048 \\
P(X = 4) &= C_5^4 \cdot 0.8^4 \cdot 0.2^1 = 5 \cdot 0.4096 \cdot 0.2 = 0.4096 \\
P(X = 5) &= C_5^5 \cdot 0.8^5 \cdot 0.2^0 = 1 \cdot 0.32768 \cdot 1 = 0.32768 \\
\end{align}
$$
分布列如下：
| k | P(X = k) |
|---|------------|
| 0 | 0.00032|
| 1 | 0.0064 |
| 2 | 0.0512 |
| 3 | 0.2048 |
| 4 | 0.4096 |
| 5 | 0.32768|
六、教学建议
- 在教学过程中，应强调二项分布的适用条件：独立重复试验、只有两种结果、每次试验成功率相同。
- 引导学生理解组合数 $ C_n^k $ 的含义及其计算方法。
- 鼓励学生通过实际例子练习计算，加深对公式的理解和记忆。
- 可结合图表展示分布列，增强直观性。
七、总结
二项分布是概率论中的重要内容，掌握其分布列的求法对于解决实际问题具有重要意义。通过熟练运用二项分布的概率公式，可以准确地描述和预测多次独立试验中成功次数的分布情况，为后续学习其他概率模型打下坚实基础。
教师备注：本节内容适合用于高中数学或大学概率课程的教学，建议配合习题训练巩固知识。
