【概率论试题与答案】在数学的众多分支中，概率论以其独特的思维方式和广泛的应用价值而备受关注。无论是统计学、金融工程，还是人工智能领域，概率论都扮演着至关重要的角色。为了帮助学习者更好地掌握这一学科的核心概念与解题技巧，以下是一份精心设计的概率论试题与答案，旨在考察学生对基本理论的理解以及实际应用能力。
一、选择题（每题3分，共15分）
1. 设事件A与B相互独立，且P(A) = 0.4，P(B) = 0.6，则P(A ∩ B)等于：
- A. 0.2
- B. 0.24
- C. 0.4
- D. 0.6
2. 若随机变量X服从参数为λ的泊松分布，则E(X)等于：
- A. λ
- B. 2λ
- C. 1/λ
- D. λ²
3. 设X ~ N(0, 1)，则P(X > 1.96)的值约为：
- A. 0.025
- B. 0.05
- C. 0.1
- D. 0.25
4. 若X和Y是两个独立的正态随机变量，X ~ N(μ₁, σ₁²)，Y ~ N(μ₂, σ₂²)，则X + Y服从的分布为：
- A. N(μ₁ + μ₂, σ₁² + σ₂²)
- B. N(μ₁ + μ₂, σ₁² × σ₂²)
- C. N(μ₁ × μ₂, σ₁² + σ₂²)
- D. N(μ₁ + μ₂, σ₁² - σ₂²)
5. 已知P(A) = 0.7，P(B) = 0.5，P(A ∪ B) = 0.8，那么P(A ∩ B)为：
- A. 0.2
- B. 0.3
- C. 0.4
- D. 0.5
二、填空题（每空2分，共10分）
1. 随机变量X的期望E(X)也称为它的__________。
2. 若X ~ B(n, p)，则其方差为__________。
3. 设X与Y的相关系数为ρ，若ρ = 0，则X与Y之间__________（填“相关”或“不相关”）。
4. 在条件概率中，P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)，前提是__________。
5. 一个离散型随机变量的分布函数F(x)在x < x₀时的取值为__________。
三、简答题（每题10分，共20分）
1. 请简述概率的基本公理，并说明它们的意义。
2. 什么是大数定律？请用通俗语言解释其含义，并举例说明其在现实中的应用。
四、计算题（每题15分，共30分）
1. 假设某工厂生产的产品中有10%是次品。现从一批产品中随机抽取5件，求：
a) 恰好有1件次品的概率；
b) 至少有1件次品的概率。
2. 设随机变量X的概率密度函数为：
$$
f(x) =
\begin{cases}
kx^2, & 0 \leq x \leq 1 \\
0, & 其他
\end{cases}
$$
a) 求常数k的值；
b) 求X的期望E(X)和方差D(X)。
五、综合题（25分）
设X和Y是两个独立的随机变量，其中X服从参数为λ的泊松分布，Y服从参数为μ的泊松分布。
a) 证明：X + Y服从参数为λ + μ的泊松分布；
b) 计算P(X = 1 | X + Y = 2)。
参考答案
一、选择题
1. B
2. A
3. A
4. A
5. B
二、填空题
1. 数学期望
2. np(1-p)
3. 不相关
4. P(B) > 0
5. 0
三、简答题
略（参考教材或课堂笔记）
四、计算题
1. a) 0.32805；b) 0.40951
2. a) k = 3；b) E(X) = 3/4，D(X) = 3/80
五、综合题
a) 证明过程见概率论教材中泊松分布的可加性性质；
b) P(X = 1 | X + Y = 2) = λ / (λ + μ)
通过这份试题与答案，希望能够帮助读者加深对概率论基本概念的理解，并提升解决实际问题的能力。概率论不仅是一门理论科学，更是一种工具，它教会我们如何在不确定性中做出合理的判断与决策。
