【中考数学压轴之阿氏圆模型教案】一、教学目标

1. 知识与技能：掌握阿氏圆的基本概念及其在几何中的应用，理解阿氏圆与动点轨迹之间的关系。

2. 过程与方法：通过典型例题的分析与讲解，培养学生运用几何变换、代数方法解决复杂问题的能力。

3. 情感态度与价值观：激发学生对几何图形的兴趣，增强学生解决综合题的信心。

二、教学重点与难点

- 重点：阿氏圆的定义及构造方法；利用阿氏圆解决最值问题。

- 难点：如何将实际问题转化为阿氏圆模型；灵活运用几何与代数结合的方法进行解题。

三、教学内容与过程设计

1. 引入新课（5分钟）

通过一道典型的中考压轴题引出“阿氏圆”的概念。例如：

> 已知点A(0, 1)，点B(2, 0)，点P是x轴上的一动点，求PA + PB的最小值。

引导学生思考：是否存在某种几何图形，使得PA + PB的和可以转化为某个固定点到该图形的距离？

由此引出“阿氏圆”模型，并介绍其基本原理。

2. 讲解阿氏圆的概念（10分钟）

- 定义：阿氏圆（Apollonius Circle）是指满足一定比例关系的动点轨迹，即对于定点A、B和定比k≠1，所有满足|PA|/|PB|=k的点P构成一个圆。

- 构造方法：

- 找出两个满足条件的点，确定圆心和半径；

- 或使用向量法、坐标法进行推导。

举例说明：设A(0, 0)，B(4, 0)，k=1/2，则所有满足|PA|/|PB|=1/2的点P构成一个圆，可通过几何或代数方法求出该圆的方程。

3. 典型例题解析（20分钟）

例题1：

已知点A(0, 0)，点B(4, 0)，点P在x轴上运动，求PA + 2PB的最小值。

分析：

此题中，PA + 2PB的形式提示我们可能需要构造一个阿氏圆模型，以将距离比转化为固定点与圆的关系。

解法步骤：

- 构造点C，使得PC = 2PB，即点C为点B按比例缩小后的点；

- 将原式转化为PA + PC，再利用两点之间线段最短的原理，找到最短路径；

- 最终得到最小值为AC的长度。

例题2：

已知点A(1, 2)，点B(5, 6)，点P在直线y = x上运动，求PA + PB的最小值。

分析：

这是一个动态点在直线上移动的问题，可尝试构造阿氏圆模型，或者考虑反射法，寻找最优路径。

解法思路：

- 使用几何反射法，将点B关于直线y=x对称得到点B'；

- 则PA + PB = PA + PB'，最小值即为A到B'的直线距离。

4. 课堂练习（15分钟）

提供几道不同难度的题目，让学生独立完成，并在完成后进行小组讨论和教师点评。

练习题示例：

- 已知点A(2, 3)，点B(-1, 1)，点P在y轴上运动，求PA + 2PB的最小值。

- 点P在抛物线y = x²上运动，点A(0, 0)，点B(2, 2)，求PA + PB的最小值。

5. 小结与拓展（5分钟）

- 回顾阿氏圆的核心思想：通过比例关系构造圆，简化最值问题；

- 鼓励学生在今后的学习中多关注几何与代数的结合；

- 布置课后作业，巩固所学内容。

四、教学反思

本节课通过引入实际问题，引导学生逐步理解阿氏圆模型的应用价值。在教学过程中，注重启发学生的思维，鼓励他们动手操作和逻辑推理，提升解决问题的能力。同时，在例题讲解中注意层次分明，兼顾不同基础的学生，确保课堂效率。

五、板书设计

- 阿氏圆定义

- 构造方法

- 典型例题解析

- 解题思路总结

六、课后作业

1. 完成课本相关章节习题；

2. 自主查找并整理一道涉及阿氏圆的中考真题，写出完整解题过程。

备注：本教案适用于初中数学复习阶段，特别是针对中考数学压轴题的专项训练，帮助学生掌握复杂几何模型的解题思路与技巧。