【九年级数学下册《解直角三角形》典型例题(含答案】在初中数学中，“解直角三角形”是一个重要的知识点，主要涉及直角三角形的边角关系、三角函数的应用以及实际问题的建模与求解。掌握这一部分内容，不仅有助于提升几何思维能力，也为后续学习三角函数、立体几何等知识打下坚实基础。
下面将通过几道典型的例题，帮助同学们深入理解“解直角三角形”的基本方法和应用技巧。
例题1：已知一边一锐角，求其他边和角
题目：
在直角三角形ABC中，∠C = 90°，∠A = 30°，斜边AB = 10 cm，求边BC和AC的长度。
解题思路：
根据直角三角形的性质，∠A = 30°，则对应的对边BC为斜边的一半，即：
$$
BC = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \times 10 = 5 \text{ cm}
$$
再利用勾股定理计算AC：
$$
AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{10^2 - 5^2} = \sqrt{100 - 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \text{ cm}
$$
答案：
BC = 5 cm，AC = $5\sqrt{3}$ cm
例题2：利用三角函数求边长
题目：
在直角三角形DEF中，∠D = 90°，EF = 12 cm，∠E = 45°，求DF和DE的长度。
解题思路：
由于∠E = 45°，说明这是一个等腰直角三角形，因此两条直角边相等，即：
$$
DE = DF
$$
设DE = DF = x，则由勾股定理得：
$$
x^2 + x^2 = EF^2 \Rightarrow 2x^2 = 12^2 = 144 \Rightarrow x^2 = 72 \Rightarrow x = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}
$$
答案：
DE = DF = $6\sqrt{2}$ cm
例题3：实际应用问题
题目：
某人站在离建筑物底部8米远的地方，测得建筑物顶端的仰角为60°，求建筑物的高度（忽略人的身高）。
解题思路：
该问题可以看作一个直角三角形模型，其中：
- 水平距离为底边，长度为8米；
- 建筑物高度为对边；
- 仰角为60°。
使用正切函数：
$$
\tan(60^\circ) = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}} = \frac{h}{8}
$$
$$
h = 8 \times \tan(60^\circ) = 8 \times \sqrt{3} \approx 13.86 \text{ m}
$$
答案：
建筑物的高度约为13.86米
例题4：综合运用三角函数与勾股定理
题目：
在直角三角形PQR中，∠Q = 90°，PR = 13 cm，QR = 5 cm，求∠P的正弦值和cos值。
解题思路：
首先利用勾股定理求出PQ的长度：
$$
PQ = \sqrt{PR^2 - QR^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}
$$
接下来计算sin∠P 和 cos∠P：
$$
\sin(\angle P) = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}} = \frac{QR}{PR} = \frac{5}{13}
$$
$$
\cos(\angle P) = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}} = \frac{PQ}{PR} = \frac{12}{13}
$$
答案：
$\sin(\angle P) = \frac{5}{13}$，$\cos(\angle P) = \frac{12}{13}$
总结
“解直角三角形”是初中数学中的重要内容，涉及到三角函数、勾股定理、角度关系等多个知识点。通过以上例题可以看出，解决这类问题的关键在于：
1. 熟悉直角三角形的基本性质；
2. 灵活运用三角函数公式；
3. 能够将实际问题抽象为数学模型并进行求解。
建议同学们多做相关练习题，提高对图形的理解能力和运算准确性。希望本篇内容能帮助大家更好地掌握“解直角三角形”的相关知识！
