【排列组合21种例题】排列组合是数学中一个重要的分支，广泛应用于概率、统计、计算机科学等领域。掌握排列组合的基本原理和常见题型，不仅能提升逻辑思维能力，还能在实际问题中灵活运用。本文将介绍21种常见的排列组合例题，帮助读者更好地理解和应用这一知识点。
1. 基本排列与组合
题目1： 从5个不同的元素中选出3个进行排列，有多少种方法？
解析： 排列数公式为 $ P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!} $，所以答案是 $ P(5, 3) = 60 $。
2. 组合问题
题目2： 从6个不同的人中选出4人组成一个小组，有多少种选法？
解析： 组合数公式为 $ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} $，答案是 $ C(6, 4) = 15 $。
3. 有重复的排列
题目3： 用数字1、2、3可以组成多少个三位数（允许重复）？
解析： 每位有3种选择，共 $ 3^3 = 27 $ 种。
4. 不同元素的排列
题目4： 5个人排成一排，其中A不能站在最左边，有多少种排法？
解析： 总共有 $ 5! = 120 $ 种排列，减去A在左端的情况 $ 4! = 24 $，结果为 $ 96 $。
5. 限制条件下的排列
题目5： 4个男生和3个女生排成一排，要求男女必须交替排列，有多少种方式？
解析： 有两种可能的排列方式（男女男女男女男 或 女男女男女男女），每种情况有 $ 4! \times 3! = 24 \times 6 = 144 $，总共有 $ 288 $ 种。
6. 相邻元素的排列
题目6： 5个人中，A和B必须相邻，有多少种排法？
解析： 将A和B视为一个整体，共有 $ 4! \times 2 = 48 $ 种。
7. 非相邻元素的排列
题目7： 5个人中，A和B不能相邻，有多少种排法？
解析： 总排列数 $ 5! = 120 $，减去A和B相邻的 $ 4! \times 2 = 48 $，结果为 $ 72 $。
8. 圆桌排列
题目8： 4个人围坐在圆桌旁，有多少种不同的坐法？
解析： 圆桌排列为 $ (n-1)! = 6 $ 种。
9. 环形排列中的特殊限制
题目9： 5个人围成一圈，其中A和B必须相邻，有多少种排法？
解析： 将A和B视为一个整体，环形排列为 $ (4-1)! \times 2 = 12 $ 种。
10. 分组问题
题目10： 把6个不同的球分成3组，每组2个，有多少种分法？
解析： 先选2个，再选2个，最后剩下的2个，除以组的顺序，即 $ \frac{C(6,2) \times C(4,2) \times C(2,2)}{3!} = 15 $。
11. 有重复元素的排列
题目11： 由字母A、A、B、B组成的四位数有多少种？
解析： 公式为 $ \frac{4!}{2! \times 2!} = 6 $。
12. 组合与排列的混合应用
题目12： 从5个男生和4个女生中选出3人，其中至少有1个女生，有多少种选法？
解析： 总选法 $ C(9,3) = 84 $，减去全男生 $ C(5,3) = 10 $，结果为 $ 74 $。
13. 多次选取的组合
题目13： 从10个不同的物品中每次取1个，允许重复，取3次，有多少种方法？
解析： 有重复的组合数为 $ C(10+3-1, 3) = C(12, 3) = 220 $。
14. 位置固定问题
题目14： 5个不同的球放入3个不同的盒子，每个盒子至少有一个球，有多少种放法？
解析： 使用容斥原理或斯特林数，答案为 $ 150 $。
15. 分配问题
题目15： 5个相同的苹果分给3个孩子，每个孩子至少得到1个，有多少种分法？
解析： 用隔板法，答案为 $ C(4,2) = 6 $。
16. 排列与组合的结合
题目16： 从10个不同的书中选出5本，然后按顺序排列，有多少种方法？
解析： 先选后排，即 $ C(10,5) \times 5! = 30240 $。
17. 有限制的组合
题目17： 从6个不同的颜色中选3种，但不能同时选红和蓝，有多少种选法？
解析： 总选法 $ C(6,3) = 20 $，减去红蓝同选的情况 $ C(4,1) = 4 $，结果为 $ 16 $。
18. 排列中的对称性
题目18： 用数字1、2、3、4、5组成一个五位数，使得奇数位上的数字都是奇数，有多少种方法？
解析： 奇数位有3个位置，需填入1、3、5；偶数位填入2、4。排列数为 $ 3! \times 2! = 12 $。
19. 重复元素的组合
题目19： 从3种水果中选5个，每种水果不限数量，有多少种选法？
解析： 有重复的组合数为 $ C(3+5-1,5) = C(7,5) = 21 $。
20. 二进制排列
题目20： 由0和1组成的长度为5的二进制字符串，其中有3个1，有多少种排列？
解析： 即 $ C(5,3) = 10 $。
21. 实际应用题
题目21： 一个班级有40人，要从中选出班长、副班长、学习委员各一人，有多少种选法？
解析： 从40人中依次选三人，不重复，即 $ P(40,3) = 59280 $。
通过以上21种排列组合例题的练习，可以全面掌握排列与组合的核心概念和应用场景。建议多做变式题，提升解题灵活性和逻辑思维能力。
