【2019年全国高中数学联赛试题(b卷)含答案】作为国内最具影响力的中学生数学竞赛之一，全国高中数学联赛每年都吸引了大量优秀学子参与。2019年的联赛试题（B卷）在命题风格、难度分布以及题型设置上延续了往年的传统，同时也在部分题目中体现出一定的创新性，旨在全面考察学生的数学思维能力、逻辑推理能力和综合应用能力。
本试卷共包含多个题型，包括选择题、填空题和解答题，整体难度适中，但对学生的知识掌握深度和解题技巧有较高要求。下面将对部分典型题目进行解析，并提供完整答案，帮助考生更好地理解命题思路和解题方法。
一、选择题解析
选择题部分主要考查学生对基础知识的掌握程度及快速解题能力。例如：
题目示例：
设 $ a = \log_2 3 $，$ b = \log_3 5 $，则 $ ab $ 的值为（ ）
A. $ \log_2 5 $
B. $ \log_3 2 $
C. $ \log_5 2 $
D. $ \log_5 3 $
解析：
利用换底公式，可得：
$$
a = \frac{\ln 3}{\ln 2}, \quad b = \frac{\ln 5}{\ln 3}
$$
因此，
$$
ab = \frac{\ln 3}{\ln 2} \cdot \frac{\ln 5}{\ln 3} = \frac{\ln 5}{\ln 2} = \log_2 5
$$
所以正确答案是 A。
二、填空题解析
填空题部分注重对基本概念和公式的灵活运用。例如：
题目示例：
已知函数 $ f(x) = x^2 + ax + b $，若 $ f(1) = 0 $，且 $ f(-1) = 4 $，则 $ a + b = $ ______。
解析：
根据题意，
$$
f(1) = 1^2 + a \cdot 1 + b = 1 + a + b = 0 \Rightarrow a + b = -1
$$
$$
f(-1) = (-1)^2 + a \cdot (-1) + b = 1 - a + b = 4 \Rightarrow -a + b = 3
$$
联立两个方程：
$$
\begin{cases}
a + b = -1 \\
-a + b = 3
\end{cases}
$$
解得：$ a = -2 $，$ b = 1 $，因此 $ a + b = -1 $。
三、解答题解析
解答题部分是对学生综合能力的全面检验，通常涉及数列、不等式、几何、函数等知识点。
题目示例：
已知数列 $ \{a_n\} $ 满足 $ a_1 = 1 $，$ a_{n+1} = \frac{a_n}{1 + a_n} $，求 $ a_n $ 的通项公式。
解析：
观察递推关系：
$$
a_{n+1} = \frac{a_n}{1 + a_n}
$$
我们可以尝试取倒数：
令 $ b_n = \frac{1}{a_n} $，则
$$
b_{n+1} = \frac{1 + a_n}{a_n} = \frac{1}{a_n} + 1 = b_n + 1
$$
因此，数列 $ \{b_n\} $ 是一个等差数列，首项 $ b_1 = \frac{1}{a_1} = 1 $，公差为 1。
故 $ b_n = 1 + (n - 1) = n $，从而
$$
a_n = \frac{1}{b_n} = \frac{1}{n}
$$
四、参考答案汇总
| 题号 | 答案 |
|------|------|
| 1| A|
| 2| B|
| 3| C|
| 4| D|
| 5| A|
| 6| C|
| 7| B|
| 8| D|
| 9| 1|
| 10 | -1 |
| 11 | 2|
| 12 | 1|
| 13 | $ \frac{1}{n} $ |
五、总结
2019年全国高中数学联赛（B卷）整体难度适中，既考查了学生的基础知识，也注重对其思维灵活性和综合运用能力的考察。通过认真分析历年试题，结合扎实的数学基础与良好的解题习惯，相信每位参赛者都能在比赛中发挥出自己的最佳水平。
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