【tan75度计算全过程】在三角函数中，tan75°是一个常见的角度，可以通过三角恒等式进行计算。由于75°可以表示为45° + 30°，因此我们可以利用和角公式来求解tan75°的值。以下是对tan75°计算过程的详细总结，并通过表格形式展示关键步骤。
一、计算原理
根据三角函数的和角公式：
$$
\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \cdot \tan b}
$$
令 $ a = 45^\circ $，$ b = 30^\circ $，则：
$$
\tan(75^\circ) = \tan(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1 - \tan 45^\circ \cdot \tan 30^\circ}
$$
二、已知三角函数值
| 角度 | tan值 |
| 45° | 1 |
| 30° | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ |
三、代入计算
将已知值代入公式：
$$
\tan 75^\circ = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}
$$
接下来对分子和分母分别通分：
- 分子：$ 1 + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3} $
- 分母：$ 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3} $
所以：
$$
\tan 75^\circ = \frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}
$$
为了简化这个表达式，我们对分母有理化：
$$
\frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} = \frac{(3 + \sqrt{3})^2}{(3)^2 - (\sqrt{3})^2}
$$
计算分子和分母：
- 分子：$ (3 + \sqrt{3})^2 = 9 + 6\sqrt{3} + 3 = 12 + 6\sqrt{3} $
- 分母：$ 9 - 3 = 6 $
所以：
$$
\tan 75^\circ = \frac{12 + 6\sqrt{3}}{6} = 2 + \sqrt{3}
$$
四、最终结果
$$
\tan 75^\circ = 2 + \sqrt{3}
$$
五、总结表格
| 步骤 | 内容说明 |
| 1 | 使用和角公式：$\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 - \tan a \cdot \tan b}$ |
| 2 | 设 $a = 45^\circ$, $b = 30^\circ$，代入公式 |
| 3 | 已知 $\tan 45^\circ = 1$，$\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$ |
| 4 | 代入得：$\tan 75^\circ = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}$ |
| 5 | 通分后得到：$\frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ |
| 6 | 有理化分母后得：$\frac{(3 + \sqrt{3})^2}{6}$ |
| 7 | 展开并化简得：$\tan 75^\circ = 2 + \sqrt{3}$ |
通过上述过程，我们得到了tan75°的精确值为 $2 + \sqrt{3}$，这是通过三角恒等式和代数运算得出的结果。
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