【sinx+cosx分之一的不定积分】在微积分的学习过程中，求解函数的不定积分是一项基本而重要的技能。其中，“sinx + cosx 分之一”的不定积分是一个较为常见的题目，但其解法并不简单，需要一定的技巧和对三角函数性质的深入理解。

以下是对该问题的总结与分析：

一、问题描述

我们要求的是如下函数的不定积分：

$$

\int \frac{1}{\sin x + \cos x} \, dx

$$

这是一个含有正弦和余弦的有理函数，通常可以通过三角恒等变换或变量替换的方法进行化简和求解。

二、解题思路

1. 利用三角恒等式简化表达式

可以将分母中的 $\sin x + \cos x$ 进行变形，例如使用公式：

$$

\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)

$$

从而将原式转化为：

$$

\int \frac{1}{\sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)} \, dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \csc\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \, dx

$$

2. 直接积分

已知：

$$

\int \csc u \, du = \ln \tan \frac{u}{2} + C

$$

所以可以得到：

$$

\frac{1}{\sqrt{2}} \ln \left \tan \left( \frac{x + \frac{\pi}{4}}{2} \right) \right + C

$$

3. 另一种方法：代数替换

也可以通过令 $t = \tan x$ 或使用“万能代换”（即令 $t = \tan \frac{x}{2}$）来处理，虽然步骤较多，但也能得出相同结果。

三、最终答案总结

四、注意事项

- 在实际计算中，可能会遇到不同的表示方式，如使用 $\log$ 而不是 $\ln$，或者用不同的角度单位（弧度制）。

- 不同教材或老师可能采用不同的简化方式，但最终结果在数学上是等价的。

- 若需进一步化简，可结合三角函数的加减公式进行调整。

五、结语

“$\sin x + \cos x$ 分之一”的不定积分虽然看似简单，但其解法涉及多种技巧，包括三角恒等变换、变量替换以及对常见积分公式的灵活运用。掌握这些方法不仅能解决本题，也为今后处理更复杂的积分问题打下坚实基础。

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