【对勾函数最值公式】在数学中，对勾函数是一种特殊的函数形式，常用于优化问题和实际应用中。其标准形式为：
$$ f(x) = ax + \frac{b}{x} $$
其中 $ a > 0 $、$ b > 0 $，且 $ x \neq 0 $。
该函数的图像呈“对勾”形状，因此被称为对勾函数。它在 $ x > 0 $ 的区间内具有最小值，在 $ x < 0 $ 区间内具有最大值（当 $ a $ 和 $ b $ 同号时）。本文将总结对勾函数的最值公式，并通过表格形式进行清晰展示。
一、对勾函数的最值公式
对于函数 $ f(x) = ax + \frac{b}{x} $，其极值点可通过求导或利用不等式方法得出。
1. 极小值（当 $ x > 0 $）
根据不等式原理，若 $ a > 0 $、$ b > 0 $，则：
$$
f(x) = ax + \frac{b}{x} \geq 2\sqrt{ab}
$$
当且仅当 $ ax = \frac{b}{x} $，即 $ x = \sqrt{\frac{b}{a}} $ 时，取到等号，此时取得最小值。
- 最小值：$ 2\sqrt{ab} $
- 取得最小值的 $ x $ 值：$ x = \sqrt{\frac{b}{a}} $
2. 极大值（当 $ x < 0 $）
若 $ a > 0 $、$ b > 0 $，考虑 $ x < 0 $，令 $ x = -y $，其中 $ y > 0 $，则原函数变为：
$$
f(-y) = -ay - \frac{b}{y}
$$
此时函数值为负数，随着 $ y $ 增大而减小，因此在 $ x < 0 $ 区间内无最大值，但可定义其极限行为。
不过，若考虑对称性，可以认为在 $ x < 0 $ 区间内，函数的最大值出现在 $ x = -\sqrt{\frac{b}{a}} $ 处，此时：
- 最大值：$ -2\sqrt{ab} $
- 取得最大值的 $ x $ 值：$ x = -\sqrt{\frac{b}{a}} $
二、总结表格
| 参数 | 公式 | 说明 |
| 函数形式 | $ f(x) = ax + \frac{b}{x} $ | $ a > 0, b > 0 $ |
| 最小值 | $ 2\sqrt{ab} $ | 当 $ x > 0 $ 时取得 |
| 取得最小值的 $ x $ | $ x = \sqrt{\frac{b}{a}} $ | 正数区间内 |
| 最大值 | $ -2\sqrt{ab} $ | 当 $ x < 0 $ 时取得 |
| 取得最大值的 $ x $ | $ x = -\sqrt{\frac{b}{a}} $ | 负数区间内 |
三、应用举例
例如，设 $ a = 2 $，$ b = 8 $，则：
- 最小值为 $ 2\sqrt{2 \times 8} = 2\sqrt{16} = 8 $
- 取得最小值的 $ x $ 为 $ \sqrt{\frac{8}{2}} = \sqrt{4} = 2 $
- 最大值为 $ -8 $
- 取得最大值的 $ x $ 为 $ -2 $
四、结语
对勾函数是最常见的非线性函数之一，其最值公式简洁明了，适用于工程、经济、物理等多个领域。掌握其最值计算方法，有助于快速解决相关问题。通过上述总结与表格形式，可以更直观地理解对勾函数的性质和应用方式。
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