在数据分析和科学研究中，统计学作为一门重要的工具学科，为我们提供了理解数据背后规律的有效方法。为了帮助大家更好地掌握统计学的核心知识，本文将对一些常见的统计学基础公式进行系统性整理与归纳。

一、描述统计量

描述统计量主要用于概括数据的基本特征，包括集中趋势、离散程度等。

1. 平均值（Mean）

平均值是数据集中所有数值的算术平均数：

\[

\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}

\]

其中，\(x_i\) 表示第 \(i\) 个样本值，\(n\) 是样本数量。

2. 中位数（Median）

中位数是将数据按大小排序后位于中间位置的值。如果样本数量为偶数，则取中间两个数的平均值。

3. 众数（Mode）

众数是指数据集中出现频率最高的数值。

4. 方差（Variance）

方差用于衡量数据点相对于均值的分散程度：

\[

\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}{n}

\]

5. 标准差（Standard Deviation）

标准差是方差的平方根，表示数据分布的离散程度：

\[

\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}{n}}

\]

二、概率分布

概率分布是描述随机变量可能取值及其对应概率的函数模型。

1. 正态分布（Normal Distribution）

正态分布的概率密度函数为：

\[

f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}

\]

其中，\(\mu\) 为均值，\(\sigma\) 为标准差。

2. 二项分布（Binomial Distribution）

二项分布描述了 \(n\) 次独立重复试验中成功次数 \(k\) 的概率：

\[

P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, ..., n

\]

其中，\(p\) 为单次试验成功的概率。

3. 泊松分布（Poisson Distribution）

泊松分布适用于稀疏事件的发生次数：

\[

P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \quad k = 0, 1, ...

\]

其中，\(\lambda\) 表示单位时间或空间内事件发生的期望次数。

三、假设检验

假设检验通过样本数据验证总体参数是否满足特定条件。

1. 单样本 t 检验

用于判断单个样本的均值是否与已知总体均值存在显著差异：

\[

t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}

\]

其中，\(\bar{x}\) 是样本均值，\(\mu_0\) 是总体均值，\(s\) 是样本标准差。

2. 独立样本 t 检验

用于比较两组独立样本的均值是否存在显著差异：

\[

t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}

\]

四、回归分析

回归分析旨在研究自变量与因变量之间的关系。

1. 简单线性回归

简单线性回归模型为：

\[

y = \beta_0 + \beta_1 x + \epsilon

\]

其中，\(\beta_0\) 和 \(\beta_1\) 分别为截距和斜率，\(\epsilon\) 表示误差项。

2. 多元线性回归

当有多个自变量时，模型扩展为：

\[

y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2 + ... + \beta_k x_k + \epsilon

\]

以上仅为统计学基础公式的一部分，实际应用中还需结合具体场景灵活运用。希望这份汇总能够为大家提供一定的参考价值！