在数学的世界里，每一道题目都像是一扇通往未知领域的门扉。对于热爱数学的学生来说，参与数学奥林匹克竞赛无疑是一种挑战自我、提升能力的最佳方式。今天，我们整理了数学奥林匹克高中训练题第12期的汇总内容，希望这些题目能够帮助同学们开拓思维，提高解题技巧。

1. 数论问题：求所有正整数n，使得n^2 + 3n + 5是一个完全平方数。

解答：设n^2 + 3n + 5 = m^2，则有(n + 1)(n + 2) = m^2 - 1 = (m - 1)(m + 1)。由于(m - 1)和(m + 1)是两个连续的偶数，所以它们的最大公约数为2。因此，(n + 1)和(n + 2)必须分别是这两个偶数中的一个，即n + 1 = 2k或n + 2 = 2k。通过进一步分析可以得到n的可能值。

2. 几何问题：已知△ABC中，AB = AC = 13，BC = 10，点D在边BC上，且BD:DC = 2:3。求AD的长度。

解答：利用余弦定理先计算出∠BAC的余弦值，再根据三角形面积公式求出△ABC的面积。接着，利用相似三角形的比例关系求出AD的长度。

3. 组合数学问题：从集合{1, 2, ..., 20}中任取三个不同的数a, b, c，使得a < b < c，并且满足条件a + b > c。问有多少种不同的取法？

解答：首先确定总的选取方法数，然后减去不符合条件的情况数。具体来说，可以通过枚举c的所有可能值，分别计算满足条件的(a, b)对的数量来得出答案。

4. 不等式问题：证明不等式(x^2 + y^2)(x^4 + y^4) ≥ (x^3 + y^3)^2对任意实数x, y均成立。

解答：将左边展开后化简，利用基本不等式进行放缩即可完成证明。

5. 概率统计问题：甲乙两人轮流投掷一枚均匀硬币，规定谁先连续两次正面朝上获胜。如果甲先开始投掷，请问甲获胜的概率是多少？

解答：设甲获胜的概率为p，则乙获胜的概率为1-p。考虑甲第一次投掷的结果以及后续可能的发展情况，建立递归方程并求解得到p的具体数值。

以上就是本期数学奥林匹克高中训练题的汇总内容啦！希望大家能够在解答这些问题的过程中收获乐趣与成长。继续努力吧，未来的数学之星就在前方闪耀等待着你们！