【初二数学竞赛试题含答案】在初中阶段，数学竞赛是检验学生数学思维能力与解题技巧的重要方式。初二年级的学生正处于数学知识体系逐步完善的关键时期，参加数学竞赛不仅能激发学习兴趣，还能提升逻辑推理和综合运用能力。以下是一套专为初二学生设计的数学竞赛试题，包含详细解答，供参考与练习。
一、选择题（每小题3分，共15分）
1. 若 $ x + y = 5 $，且 $ x - y = 1 $，则 $ x^2 - y^2 $ 的值为（ ）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
2. 下列各式中，最简二次根式是（ ）
A. $ \sqrt{12} $
B. $ \sqrt{18} $
C. $ \sqrt{20} $
D. $ \sqrt{21} $
3. 已知一个三角形的三边分别为 $ a, b, c $，满足 $ a + b > c $，那么这个三角形一定是（ ）
A. 锐角三角形
B. 钝角三角形
C. 直角三角形
D. 不确定
4. 若 $ a^2 + b^2 = 25 $，且 $ ab = 12 $，则 $ (a + b)^2 $ 的值为（ ）
A. 37
B. 49
C. 61
D. 73
5. 在平面直角坐标系中，点 $ A(2,3) $ 关于原点对称的点坐标是（ ）
A. $ (-2, -3) $
B. $ (2, -3) $
C. $ (-2, 3) $
D. $ (3, 2) $
二、填空题（每小题4分，共20分）
6. 计算：$ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = $ ________
7. 若 $ x = 3 $，则代数式 $ x^2 - 2x + 1 $ 的值为 ________
8. 若 $ \sqrt{x} = 5 $，则 $ x = $ ________
9. 一个等腰三角形的一个底角为 $ 50^\circ $，则顶角为 ________ 度
10. 若 $ 2x + 3 = 7 $，则 $ x = $ ________
三、解答题（共35分）
11. 解方程：$ 3(x - 2) = 2x + 1 $（7分）
12. 已知 $ a + b = 7 $，$ ab = 10 $，求 $ a^2 + b^2 $ 的值。（8分）
13. 如图，在△ABC中，∠A = 60°，AB = AC = 5，求BC的长度。（10分）
14. 某校八年级共有学生120人，其中男生人数比女生多20人，求男女生各有多少人？（10分）
四、附加题（10分）
15. 设 $ a = \sqrt{2} + 1 $，$ b = \sqrt{2} - 1 $，求 $ a^2 + b^2 $ 的值。
答案与解析
一、选择题答案：
1. A
$ x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) = 5 × 1 = 5 $
2. D
$ \sqrt{21} $ 无法再化简，是最简二次根式。
3. D
只能判断其为三角形，不能确定具体类型。
4. B
$ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 = 25 + 24 = 49 $
5. A
关于原点对称，横纵坐标都取相反数。
二、填空题答案：
6. $ \frac{5}{6} $
7. $ 4 $
8. $ 25 $
9. $ 80^\circ $
10. $ 2 $
三、解答题答案：
11.
解：
$ 3(x - 2) = 2x + 1 $
$ 3x - 6 = 2x + 1 $
$ 3x - 2x = 1 + 6 $
$ x = 7 $
12.
解：
$ a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 7^2 - 2×10 = 49 - 20 = 29 $
13.
解：
由于 AB = AC = 5，所以△ABC 是等腰三角形，∠A = 60°，说明该三角形为等边三角形，故 BC = 5。
14.
解：
设女生人数为 $ x $，则男生人数为 $ x + 20 $，根据题意有：
$ x + (x + 20) = 120 $
$ 2x + 20 = 120 $
$ 2x = 100 $
$ x = 50 $
女生50人，男生70人。
四、附加题答案：
15.
解：
$ a = \sqrt{2} + 1 $，$ b = \sqrt{2} - 1 $
$ a^2 = (\sqrt{2} + 1)^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2} $
$ b^2 = (\sqrt{2} - 1)^2 = 2 - 2\sqrt{2} + 1 = 3 - 2\sqrt{2} $
$ a^2 + b^2 = (3 + 2\sqrt{2}) + (3 - 2\sqrt{2}) = 6 $
温馨提示：
本套试题涵盖初中数学基础知识与部分拓展内容，适合初二学生进行阶段性检测或竞赛前训练。建议在规定时间内完成，以提高解题速度与准确率。
