【微积分练习题及答案】微积分作为数学中的重要分支，广泛应用于物理、工程、经济学等多个领域。掌握微积分的基本概念和解题技巧，对于学生来说至关重要。本文将提供一些典型的微积分练习题，并附上详细的解答过程，帮助学习者巩固知识、提升解题能力。
一、函数的极限与连续性
题目1：
求极限 $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$
解答：
首先观察分子 $x^2 - 4$ 可以因式分解为 $(x - 2)(x + 2)$，因此原式可以化简为：
$$
\lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4
$$
答案： $4$
二、导数与微分
题目2：
设 $f(x) = x^3 - 3x + 1$，求 $f'(x)$
解答：
根据导数的基本法则，逐项求导：
- $d/dx(x^3) = 3x^2$
- $d/dx(-3x) = -3$
- $d/dx(1) = 0$
因此，
$$
f'(x) = 3x^2 - 3
$$
答案： $3x^2 - 3$
三、积分运算
题目3：
计算定积分 $\int_0^1 (2x + 1) dx$
解答：
先求不定积分：
$$
\int (2x + 1) dx = x^2 + x + C
$$
再代入上下限：
$$
\left[ x^2 + x \right]_0^1 = (1^2 + 1) - (0^2 + 0) = 2
$$
答案： $2$
四、应用问题
题目4：
一个物体沿直线运动，其位移函数为 $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$，求其在 $t = 2$ 时的速度和加速度。
解答：
速度是位移对时间的导数，即：
$$
v(t) = s'(t) = 3t^2 - 12t + 9
$$
代入 $t = 2$：
$$
v(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3
$$
加速度是速度对时间的导数：
$$
a(t) = v'(t) = 6t - 12
$$
代入 $t = 2$：
$$
a(2) = 6(2) - 12 = 12 - 12 = 0
$$
答案： 速度为 $-3$，加速度为 $0$
五、综合练习
题目5：
求函数 $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ 在 $x \to 0$ 时的极限。
解答：
这是一个经典的极限问题，已知：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
$$
答案： $1$
总结
通过上述练习题，我们可以看到微积分不仅涉及基础的运算（如求导、积分），还常常结合实际问题进行分析。建议学习者在掌握基本公式的同时，多做练习，理解每一步推导的意义，从而提高解题的准确性和效率。
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