【平面向量测试题（高考经典试题(整理)）】在高中数学的学习过程中，平面向量是一个重要的知识点，尤其在高考中占有一定的比重。它不仅涉及向量的基本概念、运算规则，还常常与三角函数、解析几何、立体几何等知识相结合，成为考查学生综合运用能力的重要内容。
本文整理了一些近年来高考中出现的平面向量经典试题，旨在帮助同学们更好地掌握相关知识点，提升解题能力。
一、基础概念类题目
例题1：
已知向量 $ \vec{a} = (2, -1) $，$ \vec{b} = (-3, 4) $，求向量 $ \vec{a} + \vec{b} $ 的坐标。
解析：
向量加法是将对应分量相加，即
$$
\vec{a} + \vec{b} = (2 + (-3), -1 + 4) = (-1, 3)
$$
答案： $ (-1, 3) $
二、向量的模与夹角问题
例题2：
设向量 $ \vec{a} = (1, 2) $，$ \vec{b} = (3, -1) $，求 $ |\vec{a}| $ 和 $ \vec{a} $ 与 $ \vec{b} $ 的夹角。
解析：
向量的模为：
$$
|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}
$$
两向量夹角公式为：
$$
\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}
$$
计算点积：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 3 + 2 \times (-1) = 3 - 2 = 1
$$
向量 $ \vec{b} $ 的模为：
$$
|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{10}
$$
所以：
$$
\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{50}} = \frac{\sqrt{50}}{50} = \frac{\sqrt{2}}{10}
$$
因此，夹角为：
$$
\theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{10}\right)
$$
三、向量的线性组合与共线性问题
例题3：
若向量 $ \vec{a} = (1, 2) $，$ \vec{b} = (x, 4) $，且 $ \vec{a} $ 与 $ \vec{b} $ 共线，求 $ x $ 的值。
解析：
若两个向量共线，则它们的方向相同或相反，即存在实数 $ k $，使得：
$$
\vec{b} = k \vec{a}
$$
即：
$$
(x, 4) = k(1, 2) = (k, 2k)
$$
由此可得：
$$
x = k,\quad 4 = 2k \Rightarrow k = 2
$$
所以 $ x = 2 $
答案： $ x = 2 $
四、向量的应用型题目（结合几何）
例题4：
在平面直角坐标系中，已知点 A(1, 2)，B(3, 5)，C(5, 4)，D(3, 1)，判断四边形 ABCD 是否为平行四边形。
解析：
判断是否为平行四边形，可以看对边是否相等且方向一致。
计算向量：
- $ \vec{AB} = (3-1, 5-2) = (2, 3) $
- $ \vec{DC} = (5-3, 4-1) = (2, 3) $
- $ \vec{AD} = (3-1, 1-2) = (2, -1) $
- $ \vec{BC} = (5-3, 4-5) = (2, -1) $
因为 $ \vec{AB} = \vec{DC} $，$ \vec{AD} = \vec{BC} $，说明两组对边分别相等且方向一致，因此四边形 ABCD 是平行四边形。
五、综合应用题
例题5：
已知向量 $ \vec{a} = (1, 1) $，$ \vec{b} = (2, -1) $，若 $ \vec{c} = \vec{a} + 2\vec{b} $，求 $ \vec{c} $ 的坐标，并求 $ \vec{c} $ 与 $ \vec{a} $ 的夹角。
解析：
先计算 $ \vec{c} $：
$$
\vec{c} = \vec{a} + 2\vec{b} = (1, 1) + 2(2, -1) = (1, 1) + (4, -2) = (5, -1)
$$
再计算夹角：
$$
\vec{a} \cdot \vec{c} = 1 \times 5 + 1 \times (-1) = 5 - 1 = 4
$$
$$
|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2},\quad |\vec{c}| = \sqrt{5^2 + (-1)^2} = \sqrt{26}
$$
$$
\cos\theta = \frac{4}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{26}} = \frac{4}{\sqrt{52}} = \frac{4}{2\sqrt{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}}
$$
总结：
平面向量作为高考中的重要考点，其核心在于理解向量的代数表示、几何意义以及与其他数学知识的联系。通过多做典型题、总结规律、强化计算能力，可以有效提高解题速度和准确率。
建议同学们在复习时注重以下几个方面：
- 掌握向量的加减、数乘、点积、模长等基本运算；
- 理解向量共线、垂直的条件；
- 熟悉向量在几何图形中的应用；
- 多练习综合性题目，提升分析和解决复杂问题的能力。
希望以上整理能对大家的学习有所帮助！
