【圆的参数方程练习题有答案】在解析几何中，圆的参数方程是一种重要的表示方式，它能够更直观地描述圆上点的运动轨迹。掌握圆的参数方程不仅有助于理解圆的几何性质，还能在实际问题中灵活运用。以下是一些关于“圆的参数方程”的练习题及详细解答，帮助同学们更好地理解和巩固相关知识。
一、基础题型
1. 写出以原点为圆心，半径为5的圆的参数方程。
解：
圆的标准方程为 $ x^2 + y^2 = r^2 $，其中 $ r $ 为半径。
对于圆心在原点、半径为5的圆，其参数方程可以表示为：
$$
\begin{cases}
x = 5\cos\theta \\
y = 5\sin\theta
\end{cases}
\quad \text{（其中 } \theta \in [0, 2\pi) \text{）}
$$
2. 已知圆的参数方程为 $ x = 3\cos\theta $，$ y = 3\sin\theta $，求该圆的普通方程。
解：
由参数方程可得：
$$
x = 3\cos\theta \Rightarrow \cos\theta = \frac{x}{3} \\
y = 3\sin\theta \Rightarrow \sin\theta = \frac{y}{3}
$$
利用恒等式 $ \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 $，代入得：
$$
\left(\frac{x}{3}\right)^2 + \left(\frac{y}{3}\right)^2 = 1 \Rightarrow \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{9} = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 9
$$
因此，该圆的普通方程为：
$$
x^2 + y^2 = 9
$$
二、进阶题型
3. 已知圆的参数方程为 $ x = 2 + 4\cos\theta $，$ y = -1 + 4\sin\theta $，求该圆的圆心和半径。
解：
参数方程的一般形式为：
$$
\begin{cases}
x = h + r\cos\theta \\
y = k + r\sin\theta
\end{cases}
$$
其中 $ (h, k) $ 是圆心，$ r $ 是半径。
对比已知方程：
- 圆心为 $ (2, -1) $
- 半径为 $ 4 $
4. 将圆 $ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 16 $ 化为参数方程。
解：
该圆的圆心为 $ (1, -2) $，半径为 $ 4 $，所以其参数方程为：
$$
\begin{cases}
x = 1 + 4\cos\theta \\
y = -2 + 4\sin\theta
\end{cases}
\quad \text{（其中 } \theta \in [0, 2\pi) \text{）}
$$
三、综合应用题
5. 已知某圆的参数方程为 $ x = 5\cos\theta $，$ y = 5\sin\theta $，求当 $ \theta = \frac{\pi}{3} $ 时，该点的坐标，并判断该点是否在直线 $ y = \sqrt{3}x $ 上。
解：
将 $ \theta = \frac{\pi}{3} $ 代入参数方程：
$$
x = 5\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = 5 \times \frac{1}{2} = \frac{5}{2} \\
y = 5\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2}
$$
所以，该点的坐标为 $ \left( \frac{5}{2}, \frac{5\sqrt{3}}{2} \right) $。
接下来判断是否在直线 $ y = \sqrt{3}x $ 上：
$$
\sqrt{3}x = \sqrt{3} \times \frac{5}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2} = y
$$
因此，该点确实在直线 $ y = \sqrt{3}x $ 上。
四、拓展思考题
6. 若一个动点的参数方程为 $ x = a\cos\theta $，$ y = b\sin\theta $，则这个点的轨迹是什么图形？
解：
该参数方程表示的是一个椭圆，其标准方程为：
$$
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
$$
当 $ a = b $ 时，即为圆；否则为椭圆。
总结
通过以上练习题可以看出，圆的参数方程是研究圆的运动轨迹和位置变化的重要工具。掌握其基本形式与变换方法，可以帮助我们更深入地理解圆的几何特性，并应用于实际问题中。建议多做相关题目，熟练掌握参数方程与普通方程之间的转换技巧。
