【方差和期望的公式】在概率论与统计学中，期望和方差是描述随机变量分布特征的两个重要指标。期望反映了随机变量的平均值，而方差则衡量了其围绕期望值的离散程度。以下是对这两个概念及其公式的总结。
一、期望（Expected Value）
定义：期望是随机变量在所有可能结果中加权平均的值，权重为各结果出现的概率。
公式：
- 离散型随机变量：
$$
E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(x_i)
$$
其中，$x_i$ 是第 $i$ 个可能的取值，$P(x_i)$ 是对应的概率。
- 连续型随机变量：
$$
E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx
$$
其中，$f(x)$ 是概率密度函数。
二、方差（Variance）
定义：方差表示随机变量与其期望之间的偏离程度，数值越大，说明数据越分散。
公式：
- 离散型随机变量：
$$
\text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2] = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E(X))^2 \cdot P(x_i)
$$
- 连续型随机变量：
$$
\text{Var}(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x - E(X))^2 \cdot f(x) \, dx
$$
也可以通过以下等价形式计算：
$$
\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
$$
三、期望与方差的关系
| 概念 | 定义 | 公式示例 |
| 期望（E(X)) | 随机变量的平均值 | $E(X) = \sum x_i \cdot P(x_i)$ |
| 方差（Var(X)) | 随机变量与期望的平方偏差的期望 | $\text{Var}(X) = E[(X - E(X))^2]$ |
四、常见分布的期望与方差
| 分布类型 | 期望 $E(X)$ | 方差 $\text{Var}(X)$ |
| 伯努利分布 | $p$ | $p(1-p)$ |
| 二项分布 | $np$ | $np(1-p)$ |
| 泊松分布 | $\lambda$ | $\lambda$ |
| 正态分布 | $\mu$ | $\sigma^2$ |
| 均匀分布 | $\frac{a + b}{2}$ | $\frac{(b - a)^2}{12}$ |
| 指数分布 | $\frac{1}{\lambda}$ | $\frac{1}{\lambda^2}$ |
五、总结
期望和方差是统计分析中的基础工具，它们帮助我们理解数据的集中趋势和离散程度。无论是理论研究还是实际应用，掌握这些公式的含义和使用方法都至关重要。通过表格的形式可以更清晰地对比不同分布下的期望与方差，便于记忆和应用。
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